kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设总体 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \sigma)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2 x}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{\sigma}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 其中 $\sigma$ 为大于零的未知参数，已知 $X_{1}$ ， $X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\sigma$ 的最大似然估计量为 ． （A）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ （B）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ （C）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ （D）$\displaystyle \hat{\sigma}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \cdot X_{i}^{2}$
💡 答案解析
**答案**：D
**解析**：似然函数$\displaystyle L(\sigma)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\sigma)=\prod_{i=1}^n \frac{2x_i}{\sigma}e^{-x_i^2/\sigma}=(2^n\prod x_i)\sigma^{-n}e^{-\sum x_i^2/\sigma}$。取对数$\displaystyle \ln L=n\ln2+\sum\ln x_i -n\ln\sigma -\frac1\sigma\sum x_i^2$。对$\sigma$求导：$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\sigma}=-\frac{n}{\sigma}+\frac{1}{\sigma^2}\sum x_i^2=0$，解得$\displaystyle \hat\sigma=\frac1n\sum_{i=1}^n x_i^2$。故最大似然估计量为$\displaystyle \hat\sigma=\frac1n\sum_{i=1}^n X_i^2$，选D。
**难度**：★★☆☆☆