kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设某个试验有三种可能结果，其发生的概率分别为 $p_{1}=\lambda^{2}, p_{2}=(1-\lambda)^{2}, p_{3}=2 \lambda(1-\lambda)$ ，其
中参数 $\lambda$ 末知, $0<\lambda<1$ 。现做了 $n$ 次独立重复试验，观测到三种结果发生的次数分别为 $n_{1}, n_{2}$ ヵ 峸 $\left(n_{1}+n_{2}+n_{3}=n\right)$ 。则 $\lambda$ 的最大似然估计值为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{n_1+n_3}{2n}$ 或 $\displaystyle \frac{2n_1+n_3}{2n}$？需计算。似然函数$L(\lambda)=(\lambda^2)^{n_1}[(1-\lambda)^2]^{n_2}[2\lambda(1-\lambda)]^{n_3}=2^{n_3}\lambda^{2n_1+n_3}(1-\lambda)^{2n_2+n_3}$。取对数$\ln L=n_3\ln2+(2n_1+n_3)\ln\lambda+(2n_2+n_3)\ln(1-\lambda)$。求导：$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\lambda}=\frac{2n_1+n_3}{\lambda}-\frac{2n_2+n_3}{1-\lambda}=0$，解得$\displaystyle \lambda=\frac{2n_1+n_3}{2(n_1+n_2+n_3)}=\frac{2n_1+n_3}{2n}$。故答案为$\displaystyle \frac{2n_1+n_3}{2n}$。
**解析**：由多项分布似然函数，求导得$\displaystyle \hat\lambda=\frac{2n_1+n_3}{2n}$。
**难度**：★★☆☆☆