kaoyan1basic 概率论与数理统计 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设二维总体 $(X, Y)$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x, y ; \lambda)= \begin{cases}\frac{1}{\lambda^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{\lambda}}, & x>0, y>0, \\ 0, & \text { 其他，为大于 } 0 \text { 的参整。 }\end{cases} \left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right)$ 为来自总体的简单随机样本，则 $\lambda$ 的最大似然估计量为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \hat\lambda=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n (X_i+Y_i)$
**解析**：联合密度$\displaystyle f(x,y)=\frac1{\lambda^2}e^{-(x+y)/\lambda}$，$x>0,y>0$。似然函数$\displaystyle L(\lambda)=\prod_{i=1}^n \frac1{\lambda^2}e^{-(x_i+y_i)/\lambda}=\lambda^{-2n}e^{-\sum(x_i+y_i)/\lambda}$。取对数$\displaystyle \ln L=-2n\ln\lambda-\frac1\lambda\sum(x_i+y_i)$。求导：$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\lambda}=-\frac{2n}{\lambda}+\frac{1}{\lambda^2}\sum(x_i+y_i)=0$，解得$\displaystyle \hat\lambda=\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n (X_i+Y_i)$。
**难度**：★★☆☆☆