kaoyan1basic 概率论与数理统计 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设总体 $X$ 的概察密度为
$$ f(x ; \theta)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-(x-\theta)}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则未知参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\dot{\theta}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\hat\theta=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$
**解析**：似然函数$L(\theta)=\prod_{i=1}^n e^{-(x_i-\theta)}1_{x_i\geq\theta}=e^{-\sum x_i+n\theta}\cdot1_{\min x_i\geq\theta}$。为最大化$L$，需$\theta$尽可能大，但受限于$\theta\leq\min x_i$，故$\hat\theta=\min X_i$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出似然函数
根据总体密度函数，样本的似然函数为 L(θ) = ∏_{i=1}^n f(x_i; θ) = ∏_{i=1}^n e^{-(x_i-θ)} I(x_i ≥ θ) = e^{-∑_{i=1}^n x_i + nθ} I(min x_i ≥ θ)，其中 I 为示性函数。
公式：L(θ) = e^{-∑ x_i + nθ} · I(min x_i ≥ θ)
提示：注意示性函数表示只有当所有 x_i ≥ θ 时似然非零。
步骤 2/3
目标：分析似然函数最大化条件
由于指数部分 e^{-∑ x_i + nθ} 是 θ 的单调递增函数（因为 n>0），所以 L(θ) 随 θ 增大而增大。但约束条件 min x_i ≥ θ 要求 θ 不能超过样本最小值。因此，在 θ ≤ min x_i 范围内，θ 越大似然越大，故最大值在 θ = min x_i 处取得。
公式：max L(θ) 当 θ = min x_i
提示：单调性分析：对 θ 求导或直接观察指数部分。
步骤 3/3
目标：得出最大似然估计量
因此，θ 的最大似然估计量为样本最小值，即 ˆθ = min{X_1, X_2, …, X_n}。
公式：ˆθ = min{X_1, X_2, …, X_n}
提示：注意估计量是统计量，用大写字母表示随机变量。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。