kaoyan1basic 概率论与数理统计 第10题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设总体 $X \sim U[\theta, \theta+1], X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，求： （1）参数 $\theta$ 的矩估计量； （2）參数 $\theta$ 的最大似然估计量．

💡 答案解析

**答案**： (1) $\displaystyle \hat\theta=\bar{X}-\frac12$ (2) $\hat\theta$满足$\hat\theta\leq X_{(1)}\leq\hat\theta+1$，即$\hat\theta\in[X_{(1)}-1, X_{(1)}]$，通常取$\hat\theta=X_{(1)}$（或区间内任意值，常用最小次序统计量）

**解析**： (1) $X\sim U[\theta,\theta+1]$，$\displaystyle E(X)=\theta+\frac12$。由矩估计法，令$\displaystyle \bar{X}=\theta+\frac12$，得$\displaystyle \hat\theta=\bar{X}-\frac12$。 (2) 似然函数$L(\theta)=\prod_{i=1}^n 1_{\theta\leq x_i\leq\theta+1}=1_{\theta\leq x_{(1)}\leq x_{(n)}\leq\theta+1}$。$L(\theta)=1$当且仅当$\theta\leq x_{(1)}$且$x_{(n)}\leq\theta+1$，即$\theta\in[x_{(n)}-1, x_{(1)}]$。为使似然函数最大，$\theta$可取该区间内任意值，通常取$\hat\theta=X_{(1)}$（最小次序统计量）。

**难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：求参数θ的矩估计量
由于总体X服从均匀分布U[θ, θ+1]，其期望E(X)=θ+1/2。根据矩估计法，令样本均值等于总体期望，即X̄=θ+1/2，解得θ̂=X̄-1/2。
公式：E(X)=θ+1/2, X̄=θ+1/2 ⇒ θ̂=X̄-1/2
提示：矩估计的核心是令样本矩等于总体矩，这里用一阶矩。
步骤 2/2
目标：求参数θ的最大似然估计量
写出似然函数L(θ)=∏_{i=1}^n I_{[θ, θ+1]}(x_i)=I_{[θ, θ+1]}(x_{(1)})·I_{[θ, θ+1]}(x_{(n)})，其中x_{(1)}≤...≤x_{(n)}。L(θ)=1当且仅当θ≤x_{(1)}且x_{(n)}≤θ+1，即θ∈[x_{(n)}-1, x_{(1)}]。为使L(θ)最大，θ可取该区间内任意值，通常取θ̂=x_{(1)}。
公式：L(θ)=1_{θ≤x_{(1)}≤x_{(n)}≤θ+1}, θ∈[x_{(n)}-1, x_{(1)}]
提示：似然函数非零区间为[θ, θ+1]包含所有样本，即最小样本≥θ且最大样本≤θ+1。

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