kaoyan1basic 概率论与数理统计 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度为
$$ f(x)=\frac{1}{2 \lambda} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\lambda}}, \quad-\infty
求：（1）$\lambda$ 的矩估计量； （2）$\lambda$ 的最大似然估计量．
💡 答案解析
**答案**： (1) $\displaystyle \hat\lambda=\frac1n\sum_{i=1}^n |X_i|$ (2) $\displaystyle \hat\lambda=\frac1n\sum_{i=1}^n |X_i|$
**解析**： (1) $X$服从拉普拉斯分布，$E(X)=0$，$E(|X|)=\lambda$。由矩估计法，令$\displaystyle \frac1n\sum|X_i|=\lambda$，得$\displaystyle \hat\lambda=\frac1n\sum_{i=1}^n |X_i|$。 (2) 似然函数$\displaystyle L(\lambda)=\prod_{i=1}^n \frac1{2\lambda}e^{-|x_i|/\lambda}=(2\lambda)^{-n}e^{-\sum|x_i|/\lambda}$。取对数$\displaystyle \ln L=-n\ln2-n\ln\lambda-\frac1\lambda\sum|x_i|$。求导：$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\lambda}=-\frac{n}{\lambda}+\frac{1}{\lambda^2}\sum|x_i|=0$，解得$\displaystyle \hat\lambda=\frac1n\sum_{i=1}^n |X_i|$。
**难度**：★★☆☆☆