kaoyan1basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自标准正态总体 $X$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S^{2}= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, Y=\bar{X}-S$ ，则 $E\left(Y^{2}\right)=$ ． （A） $\displaystyle 1-\frac{1}{n}$ （B） $\displaystyle 1+\frac{1}{n}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{n-1}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{n-1}$
💡 答案解析
**答案**：B
**解析**：$E(Y^2)=E[(\bar{X}-S)^2]=E(\bar{X}^2)-2E(\bar{X}S)+E(S^2)$。由于$\bar{X}$与$S^2$独立（正态总体），但$\bar{X}$与$S$不独立，$E(\bar{X}S)=E(\bar{X})E(S)=0\cdot E(S)=0$。$E(\bar{X}^2)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^2=1/n+0=1/n$。$E(S^2)=1$（因为$S^2$是样本方差，无偏估计总体方差1）。故$E(Y^2)=1/n+1=1+1/n$。选B。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：展开期望
计算 E(Y^2) = E[(\bar{X} - S)^2] = E(\bar{X}^2) - 2E(\bar{X}S) + E(S^2)。
公式：E(Y^2) = E(\bar{X}^2) - 2E(\bar{X}S) + E(S^2)
提示：利用期望的线性性质展开平方项。
步骤 2/5
目标：计算 E(\bar{X}^2)
由于 X_i 独立同分布 N(0,1)，有 E(\bar{X}) = 0，D(\bar{X}) = 1/n，所以 E(\bar{X}^2) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = 1/n + 0 = 1/n。
公式：E(\bar{X}^2) = D(\bar{X}) + [E(\bar{X})]^2 = 1/n
提示：样本均值的方差为总体方差除以样本量。
步骤 3/5
目标：计算 E(\bar{X}S)
由于 \bar{X} 与 S^2 独立，但 \bar{X} 与 S 不独立。然而 E(\bar{X}) = 0，且 \bar{X} 与 S 的协方差不一定为零，但 E(\bar{X}S) = E(\bar{X})E(S) 仅当独立时成立。实际上，由对称性，E(\bar{X}S) = 0，因为 \bar{X} 的分布关于0对称，而 S 是正数，但严格证明：由于 \bar{X} 与 S 独立？不，但 E(\bar{X}S) = E(\bar{X})E(S) = 0 * E(S) = 0，因为 \bar{X} 与 S 不相关？实际上，正态总体中 \bar{X} 与 S^2 独立，但 \bar{X} 与 S 不独立，然而 E(\bar{X}S) = E[\bar{X} \sqrt{S^2}]，由于 \bar{X} 与 S^2 独立，且 E(\bar{X}) = 0，所以 E(\bar{X}S) = E(\bar{X}) E(\sqrt{S^2}) = 0。
公式：E(\bar{X}S) = 0
提示：利用 \bar{X} 与 S^2 独立及 E(\bar{X}) = 0。
步骤 4/5
目标：计算 E(S^2)
样本方差 S^2 是总体方差的无偏估计，总体方差为1，所以 E(S^2) = 1。
公式：E(S^2) = 1
提示：样本方差的无偏性。
步骤 5/5
目标：求和得结果
代入得 E(Y^2) = 1/n - 0 + 1 = 1 + 1/n。
公式：E(Y^2) = 1 + 1/n
提示：注意符号。
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