kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $n$ 为正整数，随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ ，常数 $c$ 满足 $\displaystyle P\{X>c\}=\frac{2}{5}$ ，则 $P\left\{Y \leqslant c^{2}\right\}=$ （ ）． （A）$\displaystyle \frac{1}{5}$ （B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{5}$ （D）$\displaystyle \frac{4}{5}$

💡 答案解析

**答案**：C

**解析**：由$t$分布与$F$分布的关系：若$X\sim t(n)$，则$X^2\sim F(1,n)$。已知$P(X>c)=2/5$，由对称性$P(X<-c)=2/5$，故$P(|X|>c)=4/5$，$P(|X|\leq c)=1/5$。而$Y\sim F(1,n)$，$P(Y\leq c^2)=P(X^2\leq c^2)=P(|X|\leq c)=1/5$？注意：$P(Y\leq c^2)=P(X^2\leq c^2)=P(-c\leq X\leq c)=1-P(|X|>c)=1-4/5=1/5$。但选项有$1/5$，即A。然而检查：$P(X>c)=2/5$，则$P(X<-c)=2/5$，$P(-c\leq X\leq c)=1-4/5=1/5$，故$P(Y\leq c^2)=1/5$。但常见结论：$P(Y\leq c^2)=P(|X|\leq c)=1-2P(X>c)=1-4/5=1/5$。故答案为A。但题目中选项A为$1/5$，B为$2/5$，C为$3/5$，D为$4/5$，故选A。

**难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：利用t分布与F分布的关系，将Y的分布转化为X的分布
由t分布与F分布的关系：若X~t(n)，则X^2~F(1,n)。因此Y~F(1,n)可视为X^2的分布，即Y与X^2同分布。
公式：X~t(n) ⇒ X^2~F(1,n)
提示：记住t分布平方后得到F分布，分子自由度为1。
步骤 2/4
目标：将P{Y≤c^2}转化为关于X的概率
由于Y与X^2同分布，所以P{Y≤c^2}=P{X^2≤c^2}=P{|X|≤c}。
公式：P{Y≤c^2}=P{X^2≤c^2}=P{|X|≤c}
提示：注意c可能为负，但c^2非负，所以X^2≤c^2等价于|X|≤c。
步骤 3/4
目标：利用已知条件P{X>c}=2/5和t分布的对称性，求P{|X|≤c}
t分布关于0对称，所以P{X<-c}=P{X>c}=2/5。因此P{|X|>c}=P{X>c}+P{X<-c}=4/5，从而P{|X|≤c}=1-4/5=1/5。
公式：P{|X|≤c}=1-P{|X|>c}=1-2P{X>c}=1-4/5=1/5
提示：利用对称性时注意t分布均值为0（n>1时），但本题n为正整数，对称性成立。
步骤 4/4
目标：得出最终答案
因此P{Y≤c^2}=P{|X|≤c}=1/5，对应选项A。
提示：检查选项，A为1/5。

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