kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,1)$ ，则（ ）。 （A）$X+Y$ 服从正态分布 （B）$X^{2}+Y^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布 （C）$X^{2} / Y^{2}$ 服从 $F$ 分布 （D）$X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布
💡 答案解析
**答案**：D
**解析**：$X$与$Y$独立时，$X+Y$服从正态分布，但题目未说明独立，故A不一定成立。同样，$X^2+Y^2$服从$\chi^2(2)$需独立，B不一定。$X^2/Y^2$服从$F(1,1)$需独立，C不一定。无论$X,Y$是否独立，$X^2$和$Y^2$各自服从$\chi^2(1)$，D正确。
**难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A：X+Y是否服从正态分布
若X与Y独立，则X+Y服从正态分布；但题目未说明X与Y独立，因此A不一定成立。
提示：注意独立性的条件缺失
步骤 2/4
目标：分析选项B：X^2+Y^2是否服从χ^2分布
若X与Y独立，则X^2+Y^2～χ^2(2)；但题目未说明独立，因此B不一定成立。
提示：χ^2分布要求独立正态变量平方和
步骤 3/4
目标：分析选项C：X^2/Y^2是否服从F分布
若X与Y独立，则X^2/Y^2～F(1,1)；但题目未说明独立，因此C不一定成立。
提示：F分布要求独立χ^2变量之比
步骤 4/4
目标：分析选项D：X^2和Y^2是否服从χ^2分布
无论X与Y是否独立，X～N(0,1)则X^2～χ^2(1)，同理Y^2～χ^2(1)，因此D正确。
公式：若Z～N(0,1)，则Z^2～χ^2(1)
提示：单个标准正态的平方服从χ^2(1)，与独立性无关
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