kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设总体 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 和 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}$ 分别是来自总体 $X$ 和 $Y$ 且容量都为 $n$ 的两个简单随机样本，样本均值、样本方差分别为 $\bar{X}, S_{X}^{2}$ 和 $\bar{Y}, S_{Y}^{2}$ ，则（ ）。 （A） $\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ （B）$S_{X}^{2}+S_{Y}^{2} \sim \chi^{2}(2 n-2)$ （C）$\displaystyle \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}}} \sim t(2 n-2)$ （D）$\displaystyle \frac{S_{X}^{2}}{S_{Y}^{2}} \sim F(n-1, n-1)$
💡 答案解析
**答案**：D
**解析**：$\bar{X}\sim N(0,\sigma^2/n)$，$\bar{Y}\sim N(0,\sigma^2/n)$，故$\bar{X}-\bar{Y}\sim N(0,2\sigma^2/n)$，A错。$(n-1)S_X^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$，$(n-1)S_Y^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$，且独立，故$(n-1)(S_X^2+S_Y^2)/\sigma^2\sim\chi^2(2n-2)$，即$\displaystyle S_X^2+S_Y^2\sim\frac{\sigma^2}{n-1}\chi^2(2n-2)$，不是$\chi^2(2n-2)$，B错。$\displaystyle \frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}}$的分母不是标准差形式，且分子方差为$2\sigma^2/n$，分母期望不为$\sigma$，故不服从$t$分布，C错。$\displaystyle \frac{S_X^2}{S_Y^2}=\frac{(n-1)S_X^2/\sigma^2}{(n-1)S_Y^2/\sigma^2}\sim F(n-1,n-1)$，D正确。
**难度**：★★☆☆☆