kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{10}$ 是来自正态总体 $X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y^{2}=\frac{1}{9} \sum_{i=2}^{10} X_{i}^{2}$ ，则 （ ）． （A）$X_{1}^{2} \sim \chi^{2}(1)$ （B）$Y^{2} \sim \chi^{2}$（9） （C）$\displaystyle \frac{X_{1}}{|Y|} \sim t(9)$ （D）$\displaystyle \frac{X_{1}^{2}}{Y^{2}} \sim F(9,1)$
💡 答案解析
**答案**：C
**解析**：$X_1\sim N(0,\sigma^2)$，故$X_1^2/\sigma^2\sim\chi^2(1)$，但$X_1^2$本身不是$\chi^2(1)$，需除以$\sigma^2$，A错。$\displaystyle Y^2=\frac19\sum_{i=2}^{10}X_i^2$，$\sum_{i=2}^{10}X_i^2/\sigma^2\sim\chi^2(9)$，故$Y^2/\sigma^2\sim\chi^2(9)/9$，即$\displaystyle Y^2\sim\frac{\sigma^2}{9}\chi^2(9)$，不是$\chi^2(9)$，B错。$\displaystyle \frac{X_1}{|Y|}=\frac{X_1/\sigma}{\sqrt{Y^2/\sigma^2}}=\frac{X_1/\sigma}{\sqrt{\frac19\sum_{i=2}^{10}(X_i/\sigma)^2}}$，分子$X_1/\sigma\sim N(0,1)$，分母$\displaystyle \sqrt{\frac19\sum_{i=2}^{10}(X_i/\sigma)^2}=\sqrt{\frac{\chi^2(9)}{9}}$，故$\displaystyle \frac{X_1}{|Y|}\sim t(9)$，C正确。$\displaystyle \frac{X_1^2}{Y^2}=\frac{X_1^2/\sigma^2}{Y^2/\sigma^2}=\frac{\chi^2(1)}{\chi^2(9)/9}=9\frac{\chi^2(1)}{\chi^2(9)}\sim F(1,9)$，不是$F(9,1)$，D错。
**难度**：★★☆☆☆