kaoyan1basic 概率论与数理统计 第11题

由于X和Y独立同分布于N(0,1)，联合分布关于原点对称。Z的定义为：当XY>0时Z=X，当XY<0时Z=-X，当XY=0时Z=0（概率为0）。因此，对于任意实数z，有P(Z≤z)=P(XY>0, X≤z)+P(XY<0, -X≤z)。由对称性，P(XY>0, X≤z)=P(XY<0, -X≤z)，且P(XY>0)=P(XY<0)=1/2（忽略零测集）。故P(Z≤z)=2P(XY>0, X≤z)。又因为X与Y独立，P(XY>0, X≤z)=P(X≤z, Y>0, X>0)+P(X≤z, Y<0, X<0)。当z<0时，只有X<0部分；当z≥0时，两部分均需考虑。计算可得P(Z≤z)=Φ(z)，即Z~N(0,1)。

考虑线性组合Y+Z。当XY>0时，Y+Z=Y+X；当XY<0时，Y+Z=Y-X。由于X和Y独立同分布，Y+X和Y-X均服从正态分布，但Y+Z的分布是这两个正态分布的混合，且混合权重各为1/2。混合正态分布不是正态分布（除非均值相等且方差相等，此处均值均为0，方差均为2，但混合分布仍为正态？实际上，两个相同正态分布的混合仍是正态分布，因为正态分布是稳定的？但这里Y+Z的分布是Y+X和Y-X的等权重混合，而Y+X和Y-X均服从N(0,2)，且混合后仍为N(0,2)。因此需要其他反例。考虑Y和Z的联合分布：由于Z的取值依赖于X与Y的符号关系，Y和Z不是线性关系。例如，给定Y>0时，Z的分布与Y<0时不同，导致联合分布不是正态。更严格地，若(Y,Z)服从二维正态，则Y和Z的任何线性组合应为正态。取Y-Z，当XY>0时Y-Z=Y-X，当XY<0时Y-Z=Y+X，同样为两个相同正态分布的混合，仍为正态。因此需考虑非线性组合？实际上，二维正态分布要求所有线性组合为正态，但这里Y和Z的线性组合均为正态（因为Y±X均为正态，且混合后仍为正态），所以不能直接否定。另一种思路：二维正态分布的概率密度函数是钟形曲面，而(Y,Z)的联合分布可能在某些区域有奇异行为。例如，考虑事件{Y>0, Z<0}，由Z的定义，当XY>0时Z=X，若Y>0则X>0，故Z>0；当XY<0时Z=-X，若Y>0则X<0，故Z>0。因此当Y>0时，Z总是大于0，即P(Z<0|Y>0)=0。类似地，当Y<0时，Z总是小于0。因此Y和Z的符号总是相反？实际上，若Y>0，则XY>0时X>0，Z=X>0；XY<0时X<0，Z=-X>0，所以Z>0。若Y<0，则XY>0时X<0，Z=X<0；XY<0时X>0，Z=-X<0，所以Z<0。因此Y和Z的符号总是相同？检查：Y>0时Z>0，Y<0时Z<0，所以Y和Z同号。因此P(Y>0, Z<0)=0，但二维正态分布中，任何非退化线性组合的符号不会完全确定，且概率密度在全体实数上非零。因此(Y,Z)不服从二维正态分布。