kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布：$P\left\{X=x_{k}\right\}=P\left\{Y=x_{k}\right\}=p_{k}, k=1,2, \cdots$ ，则 $P\{X=Y\}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\sum_{k=1}^{\infty} p_k^2$ **解析**： 步骤1：$X$和$Y$独立同分布，$P\{X=Y\}=\sum_{k=1}^{\infty} P\{X=x_k, Y=x_k\}$。 步骤2：由独立性，$P\{X=x_k, Y=x_k\}=p_k\cdot p_k=p_k^2$。 步骤3：故$P\{X=Y\}=\sum_{k=1}^{\infty} p_k^2$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将事件{X=Y}分解为互不相容事件的和
由于X和Y是离散型随机变量，事件{X=Y}可以表示为所有可能取值x_k上{X=x_k, Y=x_k}的并集，且这些事件互不相容。因此，P{X=Y}=∑_{k=1}^{∞} P{X=x_k, Y=x_k}。
公式：P{X=Y}=∑_{k=1}^{∞} P{X=x_k, Y=x_k}
提示：注意事件{X=x_k, Y=x_k}之间互不相容，因为X和Y的取值是唯一的。
步骤 2/3
目标：利用独立性计算每个事件的概率
由X和Y相互独立，有P{X=x_k, Y=x_k}=P{X=x_k}P{Y=x_k}=p_k·p_k=p_k^2。
公式：P{X=x_k, Y=x_k}=p_k^2
提示：独立性是解题关键，注意独立同分布意味着联合概率等于边缘概率的乘积。
步骤 3/3
目标：求和得到最终概率
将每个事件的概率代入求和式，得到P{X=Y}=∑_{k=1}^{∞} p_k^2。
公式：P{X=Y}=∑_{k=1}^{∞} p_k^2
提示：由于p_k是概率分布，满足∑p_k=1，但此处求和是平方和，不一定等于1。
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