kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $\displaystyle N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ．记随机变量 $Z=|X-Y|$ 的概率密度为 $f(z)$ ，则（ ）。 （A）$\displaystyle f(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-\frac{z^{2}}{2}},-\infty
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle X,Y\sim N(0,\frac{1}{2})$独立，则$X-Y\sim N(0,1)$。 步骤2：$Z=|X-Y|$，其密度为$\displaystyle f(z)=\begin{cases} \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}}, & z>0 \\ 0, & z\leq0 \end{cases}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X-Y的分布
由于X与Y相互独立且均服从正态分布N(0,1/2)，则X-Y服从正态分布，均值为0，方差为Var(X)+Var(Y)=1/2+1/2=1，即X-Y~N(0,1)。
公式：若X~N(μ1,σ1^2)，Y~N(μ2,σ2^2)独立，则X-Y~N(μ1-μ2, σ1^2+σ2^2)
提示：注意方差相加，不是相减。
步骤 2/3
目标：推导Z=|X-Y|的概率密度
设W=X-Y，则W~N(0,1)，Z=|W|。对于z>0，Z的分布函数F_Z(z)=P(|W|≤z)=P(-z≤W≤z)=Φ(z)-Φ(-z)=2Φ(z)-1。求导得密度f(z)=2φ(z)=2*(1/√(2π))e^{-z^2/2}=√(2/π)e^{-z^2/2}。当z≤0时，f(z)=0。
公式：f_Z(z)=2f_W(z) for z>0, where f_W is the pdf of W
提示：绝对值变换时，注意密度函数在正半轴加倍。
步骤 3/3
目标：匹配选项
得到的密度函数为f(z)=√(2/π)e^{-z^2/2}，z>0，且z≤0时为0，与选项D一致。注意选项D中写的是e^{-2/2}，应为e^{-z^2/2}，但根据题意，D正确。
提示：检查选项中的符号错误，但根据上下文选择D。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。