kaoyan1basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $P\{X \geqslant Y\}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{4}$ **解析**： 步骤1：$X$和$Y$独立同分布，$\displaystyle P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$。 步骤2：$P\{X\geq Y\}=P\{X=Y\}+P\{X>Y\}$。 步骤3：$\displaystyle P\{X=Y\}=P\{X=0,Y=0\}+P\{X=1,Y=1\}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。 步骤4：$\displaystyle P\{X>Y\}=P\{X=1,Y=0\}=\frac{1}{4}$。 步骤5：总和$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定随机变量X和Y的分布
由于X和Y均服从二项分布B(1, 1/2)，即参数n=1，p=1/2，因此X和Y的取值只能为0或1，且P(X=0)=P(X=1)=1/2，同理Y。
公式：P(X=k) = C(1,k) * (1/2)^k * (1/2)^(1-k), k=0,1
提示：二项分布B(1,p)即为伯努利分布。
步骤 2/5
目标：将概率P(X≥Y)分解为互斥事件的和
事件{X≥Y}包含两种情况：X=Y和X>Y。由于X和Y独立，可分别计算概率后相加。
公式：P(X≥Y) = P(X=Y) + P(X>Y)
提示：注意X=Y和X>Y互斥。
步骤 3/5
目标：计算P(X=Y)
X=Y包括两种情况：(X=0,Y=0)和(X=1,Y=1)。由独立性，P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=1/2 * 1/2 = 1/4，同理P(X=1,Y=1)=1/4，所以P(X=Y)=1/4+1/4=1/2。
公式：P(X=Y) = P(X=0,Y=0) + P(X=1,Y=1) = (1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2) = 1/2
提示：独立事件概率相乘。
步骤 4/5
目标：计算P(X>Y)
X>Y只有一种情况：(X=1,Y=0)。由独立性，P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0)=1/2 * 1/2 = 1/4。
公式：P(X>Y) = P(X=1,Y=0) = (1/2)*(1/2) = 1/4
提示：注意X>Y时X必须为1，Y必须为0。
步骤 5/5
目标：求和得到最终概率
将P(X=Y)和P(X>Y)相加：1/2 + 1/4 = 3/4。
公式：P(X≥Y) = 1/2 + 1/4 = 3/4
提示：结果化简为最简分数。
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