kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设随机变量 $X$ 服从区间 $[-3,2]$ 上的均匀分布，令 $Y=\left\{\begin{array}{ll}-1, & X \leqslant-1, \\ 1, & X>-1,\end{array} Z=\left\{\begin{array}{ll}-1, & X \leqslant 1, \\ 1, & X>1,\end{array}\right.\right.$ 则 $P\{Y+Z=0\}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{5}$ **解析**： 步骤1：$X\sim U[-3,2]$，密度$\displaystyle f(x)=\frac{1}{5}, -3\leq x\leq2$。 步骤2：$Y+Z=0$即$Y$和$Z$异号。$Y=-1$当$X\leq-1$，$Y=1$当$X>-1$；$Z=-1$当$X\leq1$，$Z=1$当$X>1$。 步骤3：$Y+Z=0$的情况：$Y=-1,Z=1$或$Y=1,Z=-1$。 步骤4：$Y=-1,Z=1$对应$X\leq-1$且$X>1$，不可能。$Y=1,Z=-1$对应$X>-1$且$X\leq1$，即$-1
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定随机变量X的分布
X服从区间[-3,2]上的均匀分布，概率密度函数为f(x)=1/5，其中-3≤x≤2。
公式：f(x)=1/(b-a)=1/5
提示：均匀分布的概率密度在区间内为常数。
步骤 2/5
目标：分析Y和Z的取值条件
Y=-1当X≤-1，Y=1当X>-1；Z=-1当X≤1，Z=1当X>1。
提示：注意分段函数的定义域。
步骤 3/5
目标：确定Y+Z=0的条件
Y+Z=0等价于Y和Z异号，即(Y=-1且Z=1)或(Y=1且Z=-1)。
提示：异号即和为0。
步骤 4/5
目标：求解每个子事件的X范围
Y=-1且Z=1要求X≤-1且X>1，无解；Y=1且Z=-1要求X>-1且X≤1，即-1
提示：注意区间端点是否包含。
步骤 5/5
目标：计算概率
X在(-1,1]上的区间长度为2，概率为长度乘以密度：2×(1/5)=2/5。
公式：P=区间长度×密度=2/5
提示：均匀分布的概率等于区间长度除以总长度。
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