kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y$ 服从指数分布 $E(1)$ ，则 $P\{X+Y \geqslant 1\}=(\quad)$ ． （A） $1+\mathrm{e}^{-1}$ （B） $1-e^{-1}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{-1}\right)$ （D）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1-e^{-1}\right)$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\displaystyle X\sim B(1,\frac{1}{2})$，$Y\sim E(1)$，密度$f_Y(y)=e^{-y},y>0$。 步骤2：$P\{X+Y\geq1\}=P\{X=0,Y\geq1\}+P\{X=1,Y\geq0\}$。 步骤3：$\displaystyle P\{X=0,Y\geq1\}=\frac{1}{2}\cdot e^{-1}$，$\displaystyle P\{X=1,Y\geq0\}=\frac{1}{2}\cdot1=\frac{1}{2}$。 步骤4：总和为$\displaystyle \frac{1}{2}e^{-1}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1+e^{-1})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定随机变量的分布
X服从二项分布B(1,1/2)，即P(X=0)=1/2，P(X=1)=1/2。Y服从指数分布E(1)，概率密度函数为f_Y(y)=e^{-y} (y>0)。
公式：P(X=k)=C(1,k)(1/2)^k(1/2)^{1-k}，f_Y(y)=e^{-y}
提示：注意二项分布参数n=1，即伯努利分布。
步骤 2/4
目标：利用全概率公式分解事件
由于X与Y独立，将事件{X+Y≥1}按X的取值分解：P{X+Y≥1}=P{X=0,Y≥1}+P{X=1,Y≥0}。
公式：P(A)=∑P(A|X=x)P(X=x)
提示：独立条件下，联合概率等于边缘概率乘积。
步骤 3/4
目标：计算各部分的概率
P{X=0,Y≥1}=P(X=0)P(Y≥1)=(1/2)*e^{-1}；P{X=1,Y≥0}=P(X=1)P(Y≥0)=(1/2)*1=1/2。
公式：P(Y≥1)=∫_1^∞ e^{-y}dy=e^{-1}，P(Y≥0)=1
提示：指数分布无记忆性，但此处直接积分即可。
步骤 4/4
目标：求和得到最终概率
P{X+Y≥1}= (1/2)e^{-1} + 1/2 = (1/2)(1+e^{-1})。
提示：结果与选项C一致。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。