kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim N(0,1)$ ，则 $P\{X Y \leqslant 0\}=(\quad)$ ． （A） 0 （B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle X\sim B(1,\frac{1}{2})$，即$\displaystyle P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$。 步骤2：$Y\sim N(0,1)$，由对称性$\displaystyle P\{Y\leq0\}=P\{Y>0\}=\frac{1}{2}$，且$P\{Y=0\}=0$。 步骤3：$\displaystyle P\{XY\leq0\}=P\{X=0\}+P\{X=1,Y\leq0\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X的分布
X服从二项分布B(1,1/2)，即X取0或1，概率各为1/2。
公式：P(X=0)=P(X=1)=1/2
提示：二项分布参数n=1时即为两点分布。
步骤 2/3
目标：确定Y的分布性质
Y服从标准正态分布N(0,1)，由对称性，P(Y≤0)=P(Y>0)=1/2，且P(Y=0)=0。
公式：P(Y≤0)=1/2
提示：连续型随机变量在单点概率为0。
步骤 3/3
目标：计算P(XY≤0)
事件XY≤0包含两种情况：X=0时乘积恒为0；X=1时需Y≤0。由于X与Y独立，P(XY≤0)=P(X=0)+P(X=1)P(Y≤0)=1/2 + (1/2)*(1/2)=3/4。
公式：P(XY≤0)=P(X=0)+P(X=1)P(Y≤0)
提示：注意独立性的应用，以及事件分解的完备性。
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