kaoyan1basic 概率论与数理统计 第1题
📝 题目
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立且服从分布：
$$ $\left(\begin{array}{cc}$ -1 & 1 \\ q & p $\end{array}\right)(p+q=1)$ $$
则下列随机变量服从二项分布的是（）。 （A）$X+Y$ （B）$\displaystyle \frac{X+Y}{2}+1$ （C）$X-Y$ （D）$\displaystyle \frac{X-Y}{2}-1$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$X$和$Y$独立同分布，取值-1和1，概率分别为$q$和$p$。 步骤2：令$\displaystyle Z=\frac{X+Y}{2}+1$，则$Z$的可能取值为0,1,2。$Z=0$对应$X=Y=-1$，概率$q^2$；$Z=2$对应$X=Y=1$，概率$p^2$；$Z=1$对应$X\neq Y$，概率$2pq$。 步骤3：$Z$服从二项分布$B(2,p)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析随机变量X和Y的分布
X和Y相互独立且同分布，取值-1和1，概率分别为q和p，即P(X=-1)=q，P(X=1)=p，且p+q=1。
提示：注意独立同分布的条件。
步骤 2/3
目标：构造随机变量Z并求其分布
令Z=(X+Y)/2+1，则Z的可能取值为0,1,2。计算各取值概率：Z=0对应X=Y=-1，概率q^2；Z=2对应X=Y=1，概率p^2；Z=1对应X≠Y，概率2pq。
公式：P(Z=0)=q^2, P(Z=1)=2pq, P(Z=2)=p^2
提示：Z的取值与X+Y的对应关系：X+Y=-2,0,2分别对应Z=0,1,2。
步骤 3/3
目标：判断Z是否服从二项分布
Z的分布列为P(Z=k)=C(2,k)p^k q^(2-k)，k=0,1,2，这正是二项分布B(2,p)的形式。因此Z服从二项分布。
公式：P(Z=k)=C(2,k)p^k q^(2-k)
提示：二项分布的概率质量函数形式为P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。