kaoyan1basic 概率论与数理统计 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x|, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 求 $Y=X^{2}+1$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ 。
## 第3章 多维随机变量及其分布
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f_Y(y)=\begin{cases} \frac{1}{2}, & 1
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出X的概率密度分段形式
由f(x)=|x|, |x|≤1，得f_X(x) = { -x, -1≤x<0; x, 0≤x≤1; 0, 其他 }。
公式：f_X(x) = |x|, |x|≤1
提示：注意绝对值分段处理
步骤 2/6
目标：确定Y的取值范围
Y=X^2+1，由于|x|≤1，得0≤X^2≤1，故1≤Y≤2。
公式：y = x^2 + 1
提示：Y的值域由X的范围决定
步骤 3/6
目标：写出Y的概率密度公式
对于y∈(1,2)，x有两个对应值：x=±√(y-1)。由公式f_Y(y)=f_X(√(y-1))·|dx/dy| + f_X(-√(y-1))·|dx/dy|。
公式：f_Y(y)=∑ f_X(x_i) |dx_i/dy|
提示：注意单调区间分段，这里有两个分支
步骤 4/6
目标：计算导数绝对值
由x=±√(y-1)，得dx/dy = ±1/(2√(y-1))，故|dx/dy|=1/(2√(y-1))。
公式：|dx/dy| = 1/(2√(y-1))
提示：导数绝对值相同
步骤 5/6
目标：代入计算f_Y(y)
f_X(√(y-1)) = √(y-1)，f_X(-√(y-1)) = √(y-1)，代入得f_Y(y)= (√(y-1)+√(y-1))·1/(2√(y-1)) = 1。
公式：f_Y(y)=1
提示：注意f_X在正负处取值相同
步骤 6/6
目标：考虑边界点并写出最终密度
在y=1和y=2处，概率为0，故最终f_Y(y)=1/2, 1
公式：f_Y(y) = { 1/2, 1
提示：检查归一化：∫_1^2 (1/2) dy = 1
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