kaoyan1basic 概率论与数理统计 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设某种元件的使用寿命 $T$ 的分布函数为
$$ F(t)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\left(\frac{t}{\theta}\right)^{m}}, & \iota \geqslant 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases} $$
其中 $\theta, m$ 为大于零的参数．求概率 $P\{T>t\}$ 与 $P\{T>s+t \mid T>s\}$ ，其中 $s>0, t>0$ ．
💡 答案解析
**答案**：$P\{T>t\}=e^{-(t/\theta)^m}$，$P\{T>s+t \mid T>s\}=e^{-((s+t)/\theta)^m + (s/\theta)^m}$ **解析**： 步骤1：由分布函数定义，$P\{T>t\}=1-F(t)=e^{-(t/\theta)^m}$。 步骤2：由条件概率公式，$\displaystyle P\{T>s+t \mid T>s\}=\frac{P\{T>s+t\}}{P\{T>s\}}=\frac{e^{-((s+t)/\theta)^m}}{e^{-(s/\theta)^m}}=e^{-((s+t)/\theta)^m + (s/\theta)^m}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算 P{T>t}
由分布函数定义，P{T>t} = 1 - F(t)。代入 F(t) = 1 - e^{-(t/θ)^m}，得 P{T>t} = e^{-(t/θ)^m}。
公式：P{T>t} = 1 - F(t)
提示：注意分布函数 F(t) 是累积分布函数，P{T>t} 是生存函数。
步骤 2/2
目标：计算 P{T>s+t | T>s}
由条件概率公式，P{T>s+t | T>s} = P{T>s+t} / P{T>s}。代入第一步结果，得分子 e^{-((s+t)/θ)^m}，分母 e^{-(s/θ)^m}，相除得 e^{-((s+t)/θ)^m + (s/θ)^m}。
公式：P{A|B} = P(AB)/P(B)
提示：注意事件 {T>s+t} 包含于 {T>s}，所以交集就是 {T>s+t}。
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