kaoyan1basic 概率论与数理统计 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设 $\displaystyle X \sim f_{X}(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^{2}\right)},-\infty
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{\pi}, -\frac{\pi}{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定Y的值域和反函数
Y=arctan X，由于X∈(-∞,+∞)，Y的值域为(-π/2, π/2)。反函数为X=tan Y，且dx/dy=sec²y=1+tan²y。
公式：Y=arctan X ⇒ X=tan Y, dx/dy=1+tan²y
提示：注意arctan的值域是(-π/2, π/2)。
步骤 2/3
目标：应用随机变量函数的概率密度公式
由公式f_Y(y)=f_X(x(y))·|dx/dy|，代入f_X(x)=1/(π(1+x²))和x=tan y，得f_Y(y)=1/(π(1+tan²y))·(1+tan²y)=1/π。
公式：f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))·|(g^{-1})'(y)|
提示：注意绝对值，且1+tan²y恒正。
步骤 3/3
目标：写出最终结果
因此，f_Y(y)=1/π，y∈(-π/2, π/2)。
提示：结果与y无关，是均匀分布。
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