kaoyan1basic 概率论与数理统计 第8题
📝 题目
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(1,2)$ ，其分布函数和概率密度分别记作 $F(x)$ 和 $f(x)$ ，则下列各选项的性质中错误的是 ． （A）$f(x)$ 的曲线关于直线 $x=1$ 对称 （B）$F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(-\infty, x)$ 上的积分 （C）$F(x)$ 在点 $x=0$ 处的值等于 0.5 （D）概率密度 $f(x)$ 的最大值等于 $\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{\pi}}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$X\sim N(1,2)$，均值$\mu=1$，方差$\sigma^2=2$，$f(x)$关于$x=1$对称，A正确。 步骤2：分布函数$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$，B正确。 步骤3：$\displaystyle F(0)=P\{X\leq0\}=P\{\frac{X-1}{\sqrt{2}}\leq-\frac{1}{\sqrt{2}}\}=\Phi(-\frac{1}{\sqrt{2}})<0.5$，C错误。 步骤4：$f(x)$最大值在$x=1$处，$\displaystyle f(1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}$，D正确。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断A选项
正态分布的概率密度函数关于均值对称，均值μ=1，所以f(x)关于x=1对称，A正确。
步骤 2/4
目标：判断B选项
分布函数F(x)定义为概率密度函数f(x)从负无穷到x的积分，B正确。
公式：F(x)=∫_{-∞}^{x} f(t)dt
步骤 3/4
目标：判断C选项
计算F(0)=P{X≤0}，标准化得P{(X-1)/√2 ≤ -1/√2}=Φ(-1/√2)<0.5，故C错误。
公式：Φ(-1/√2) < 0.5
提示：标准正态分布函数值小于0.5
步骤 4/4
目标：判断D选项
概率密度最大值在x=μ处，f(1)=1/(√(2π)√2)=1/(2√π)，D正确。
公式：f(1)=1/(√(2π)σ)=1/(2√π)
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