kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设随机变量 $X$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $Y=-\ln X$ 服从（ ）。 （A）几何分布 （B）标准正态分布 （C）$t$ 分布 （D）指数分布
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$X\sim U(0,1)$，概率密度$f_X(x)=1,0
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定X的概率密度函数
由于X服从(0,1)上的均匀分布，其概率密度函数为f_X(x)=1，0
公式：f_X(x)=1, 0
提示：均匀分布的概率密度在区间内为常数。
步骤 2/3
目标：推导Y的概率密度函数
设Y=-ln X，则反函数为x=e^{-y}，y>0。由于反函数单调递减，变换公式为f_Y(y)=f_X(e^{-y})·|dx/dy|。计算导数：dx/dy=-e^{-y}，绝对值|dx/dy|=e^{-y}。代入得f_Y(y)=1·e^{-y}=e^{-y}，y>0。
公式：f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))·|(g^{-1})'(y)|
提示：注意反函数单调性，导数取绝对值。
步骤 3/3
目标：识别Y的分布
f_Y(y)=e^{-y}，y>0，这正是参数λ=1的指数分布的概率密度函数。因此Y服从指数分布。
公式：指数分布概率密度：f(y)=λe^{-λy}, y>0
提示：指数分布常用于描述等待时间。
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