kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设随机变量 $X$ 服从正态分布，其概率密度 $f(x)$ 在 $x=1$ 处有驻点，且 $f(1)=1$ ，则 $X$ 服从分布（ ）。 （A）$N(1,1)$ （B）$\displaystyle N\left(1, \frac{1}{2 \pi}\right)$ （C）$\displaystyle N\left(1, \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\right)$ （D）$N(0,1)$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的概率密度$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，驻点即最大值点$x=\mu$。由题意，$x=1$处有驻点，故$\mu=1$。 步骤2：$\displaystyle f(1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}=1$，解得$\displaystyle \sigma=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$，方差$\displaystyle \sigma^2=\frac{1}{2\pi}$，故$\displaystyle X\sim N(1,\frac{1}{2\pi})$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定正态分布的均值 μ
正态分布的概率密度函数 f(x) 在 x=μ 处取得最大值，且驻点即为最大值点。由题意，f(x) 在 x=1 处有驻点，因此 μ=1。
公式：f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
提示：正态分布密度函数的对称轴即为均值 μ。
步骤 2/3
目标：利用 f(1)=1 求解 σ
将 μ=1 代入 f(x)，得 f(1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} = 1，解得 σ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}，从而方差 σ² = \frac{1}{2\pi}。
公式：f(1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} = 1
提示：注意 f(1) 是最大值，直接代入 x=μ 即可。
步骤 3/3
目标：写出分布形式
由 μ=1，σ²=1/(2π)，得 X ~ N(1, 1/(2π))，对应选项 B。
提示：方差是 σ²，不是 σ。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。