kaoyan1basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设随机变量 $X, Y$ 分别服从正态分布 $N(\mu, 9), N(\mu, 4)$ ，记 $p_{1}=P\{X \leqslant \mu-3\}, p_{2}=P\{Y \geqslant \mu+4\}$ ，则 ）。 （A）对于任何实数 $\mu$ ，都有 $p_{1}=p_{2}$ （B）对于任何实数 $\mu$ ，都有 $p_{1}
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$X\sim N(\mu,9)$，则$\displaystyle \frac{X-\mu}{3}\sim N(0,1)$，$\displaystyle p_1=P\{X\leq\mu-3\}=P\{\frac{X-\mu}{3}\leq-1\}=\Phi(-1)$。 步骤2：$Y\sim N(\mu,4)$，则$\displaystyle \frac{Y-\mu}{2}\sim N(0,1)$，$\displaystyle p_2=P\{Y\geq\mu+4\}=P\{\frac{Y-\mu}{2}\geq2\}=1-\Phi(2)$。 步骤3：$\Phi(-1)=1-\Phi(1)$，而$1-\Phi(2)\neq1-\Phi(1)$，故$p_1\neq p_2$，且与$\mu$无关，因此对于任何实数$\mu$，$p_1>p_2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：标准化X并计算p1
X~N(μ,9)，标准化得(X-μ)/3~N(0,1)，则p1=P{X≤μ-3}=P{(X-μ)/3≤-1}=Φ(-1)。
公式：Φ(-1)
提示：标准化时注意方差是9，标准差是3。
步骤 2/3
目标：标准化Y并计算p2
Y~N(μ,4)，标准化得(Y-μ)/2~N(0,1)，则p2=P{Y≥μ+4}=P{(Y-μ)/2≥2}=1-Φ(2)。
公式：1-Φ(2)
提示：注意p2是大于等于，所以用1减去分布函数值。
步骤 3/3
目标：比较p1和p2
Φ(-1)=1-Φ(1)，而1-Φ(2)≠1-Φ(1)，且Φ(1)>Φ(2)，故1-Φ(1)<1-Φ(2)，即p1>p2。由于标准化后与μ无关，所以对于任何实数μ，p1>p2。
公式：Φ(-1)=1-Φ(1)
提示：利用标准正态分布的对称性。
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