kaoyan1basic 概率论与数理统计 第11题
📝 题目
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．已知二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$ f(x, y)= \begin{cases}2 \mathrm{e}^{-(x+y)}, & 0 求 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x, y)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$F(x,y)=\begin{cases} 0, & x\leq0 \text{或} y\leq0 \\ 1-e^{-x}-e^{-y}+e^{-y}(1-e^{-x}), & 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定分布函数定义和积分区域
分布函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∫_{-∞}^x∫_{-∞}^y f(u,v)dv du。根据概率密度非零区域0
公式：F(x,y)=∫_{-∞}^x∫_{-∞}^y f(u,v)dv du
提示：注意积分区域与概率密度非零区域的交集。
步骤 2/4
目标：情况1：x≤0或y≤0
当x≤0或y≤0时，积分区域与f非零区域无交集，故F(x,y)=0。
提示：分布函数在负半轴为0。
步骤 3/4
目标：情况2：0
此时积分区域为0
公式：∫_u^y 2e^{-(u+v)} dv = 2e^{-u}(e^{-u}-e^{-y})
提示：注意积分次序，先积v再积u。
步骤 4/4
目标：情况3：0
此时积分区域为0
公式：∫_0^y (2e^{-2u}-2e^{-u-y}) du = 1-2e^{-y}+e^{-2y}
提示：注意积分上限为y，与情况2不同。
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