kaoyan1basic 概率论与数理统计 第12题
📝 题目
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设二维随机变量 $(X, Y)$ 在矩形区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ 上服从均匀分布，求 $Z=X Y$ 的概率密度．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f_Z(z)=\begin{cases} \frac{1}{2}\ln\frac{2}{z}, & 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定联合概率密度函数
矩形区域D的面积为2，因此二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)=1/2，其中0≤x≤2，0≤y≤1。
公式：f(x,y)=1/2, (x,y)∈D
提示：均匀分布的联合密度函数为区域面积的倒数。
步骤 2/5
目标：定义Z的分布函数
Z=XY的分布函数为F_Z(z)=P{XY≤z}，即对满足xy≤z的区域积分。
公式：F_Z(z)=∬_{xy≤z} f(x,y) dxdy
提示：分布函数是概率的累积。
步骤 3/5
目标：分情况讨论z的范围
当z≤0时，xy≤z不可能成立（因为x≥0,y≥0），故F_Z(z)=0；当z≥2时，xy≤2恒成立（因为x≤2,y≤1，xy≤2），故F_Z(z)=1。
提示：注意z的边界值。
步骤 4/5
目标：计算0
当0
公式：F_Z(z)=z/2 + (z/2) ln(2/z)
提示：积分时注意x的划分点x=z。
步骤 5/5
目标：求导得到概率密度函数
对F_Z(z)求导：f_Z(z)=d/dz [z/2 + (z/2) ln(2/z)] = 1/2 + (1/2) ln(2/z) + (z/2)*(-1/z) = 1/2 ln(2/z)。因此f_Z(z)= (1/2) ln(2/z)，0
公式：f_Z(z)= (1/2) ln(2/z), 0
提示：求导时注意ln(2/z)的导数。
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