kaoyan1basic 概率论与数理统计 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从二项分布 $\displaystyle B\left(2, \frac{1}{2}\right), Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y)= \left\{\begin{array}{ll}4 y^{3}, & 0 \leqslant y \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 记 $Z=X+Y$ ，求： （1）$\displaystyle P\left\{\left.Z \leqslant \frac{5}{2} \right\rvert\, X>1\right\}$ ； （2）$Z$ 的概率密度．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \frac{1}{2}$；（2）$\displaystyle f_Z(z)=\begin{cases} 0, & z<0 \\ \frac{1}{4}z^4, & 0\leq z<1 \\ \frac{1}{4}(2z^3-3z^2+2z), & 1\leq z<2 \\ \frac{1}{4}(-z^4+8z^3-24z^2+32z-15), & 2\leq z<3 \\ 0, & z\geq3 \end{cases}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle X\sim B(2,\frac{1}{2})$，$\displaystyle P\{X=0\}=\frac{1}{4},P\{X=1\}=\frac{1}{2},P\{X=2\}=\frac{1}{4}$。 步骤2：$Y$密度$f_Y(y)=4y^3,0\leq y\leq1$。 步骤3：$\displaystyle P\{Z\leq\frac{5}{2}|X>1\}=P\{X=2,Y\leq\frac{1}{2}\}/P\{X>1\}=\frac{\frac{1}{4}\cdot(\frac{1}{2})^4}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{16}\cdot4=\frac{1}{4}$。 步骤4：$Z$的分布函数$F_Z(z)=\sum_{k=0}^2 P\{X=k\}P\{Y\leq z-k\}$。 步骤5：分段求导得$f_Z(z)$。 **难度**：★★★★★