kaoyan1basic 概率论与数理统计 第10题
📝 题目
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．已知二维随机变量 $(X, Y)$ 在以点 $(0,0),(1,-1),(1,1)$ 为顶点的三角形区域上服从均匀分布． （1）求边缘概率密度 $f_{X}(x), f_{Y}(y)$ 及条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y), f_{Y \mid X}(y \mid x)$ ，并判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立； （2）计算概率 $\displaystyle P\left\{\left.X>\frac{1}{2} \right\rvert\, Y>0\right\}, P\left\{\left.X>\frac{1}{2} \right\rvert\, Y=\frac{1}{4}\right\}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$f_X(x)=\begin{cases} 2x, & 0\leq x\leq1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，$f_Y(y)=\begin{cases} 1-|y|, & |y|\leq1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，$\displaystyle f_{X|Y}(x|y)=\begin{cases} \frac{1}{1-|y|}, & |y|\leq x\leq1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，$\displaystyle f_{Y|X}(y|x)=\begin{cases} \frac{1}{2x}, & |y|\leq x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，不独立；（2）$\displaystyle \frac{3}{4}$，$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：三角形区域面积$S=1$，联合密度$f(x,y)=1$。 步骤2：$f_X(x)=\int_{-x}^x 1 dy=2x, 0\leq x\leq1$。 步骤3：$f_Y(y)=\int_{|y|}^1 1 dx=1-|y|, |y|\leq1$。 步骤4：$\displaystyle f_{X|Y}(x|y)=\frac{1}{1-|y|}, |y|\leq x\leq1$；$\displaystyle f_{Y|X}(y|x)=\frac{1}{2x}, |y|\leq x$。 步骤5：$f_X(x)f_Y(y)\neq f(x,y)$，不独立。 步骤6：$\displaystyle P\{X>\frac{1}{2}|Y>0\}=\frac{P\{X>\frac{1}{2},Y>0\}}{P\{Y>0\}}=\frac{3/8}{1/2}=\frac{3}{4}$。 步骤7：$\displaystyle P\{X>\frac{1}{2}|Y=\frac{1}{4}\}=\int_{1/2}^1 f_{X|Y}(x|\frac{1}{4})dx=\int_{1/2}^1 \frac{1}{1-1/4}dx=\frac{1/2}{3/4}=\frac{2}{3}$。 **难度**：★★★★☆