kaoyan1basic 概率论与数理统计 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．某系统由两个相互独立工作的元件串联而成，只要有一个元件不工作，系统就不工作，设第 $i$个元件的工作寿命为 $X_{i}$ ，已知 $X_{i} \sim E\left(\lambda_{i}\right), \lambda_{i}>0, i=1,2$ ． （1）求该系统的工作寿命 $X$ 的概率密度 $f(x)$ ； （2）证明：对任意的 $t, s>0$ ，有 $P\{X>t+s \mid X>t\}=P\{X>s\}$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$f(x)=(\lambda_1+\lambda_2)e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x}, x>0$；（2）见解析 **解析**： 步骤1：串联系统寿命$X=\min(X_1,X_2)$。 步骤2：$X_i\sim E(\lambda_i)$，分布函数$F_{X_i}(x)=1-e^{-\lambda_i x}, x>0$。 步骤3：$X$的分布函数$F(x)=1-(1-F_{X_1}(x))(1-F_{X_2}(x))=1-e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x}, x>0$。 步骤4：密度$f(x)=F'(x)=(\lambda_1+\lambda_2)e^{-(\lambda_1+\lambda_2)x}, x>0$。 步骤5：$X\sim E(\lambda_1+\lambda_2)$，指数分布具有无记忆性，故$P\{X>t+s \mid X>t\}=P\{X>s\}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定系统工作寿命与元件寿命的关系
由于系统由两个元件串联而成，只要有一个元件不工作，系统就不工作，因此系统的工作寿命X等于两个元件寿命的最小值，即X = min(X1, X2)。
公式：X = min(X1, X2)
提示：串联系统寿命为最小值，并联系统寿命为最大值。
步骤 2/5
目标：写出元件寿命的分布函数
已知Xi服从参数为λi的指数分布，其分布函数为F_{Xi}(x) = 1 - e^{-λi x}, x > 0。
公式：F_{Xi}(x) = 1 - e^{-λi x}, x > 0
提示：指数分布的分布函数形式要牢记。
步骤 3/5
目标：求系统寿命X的分布函数
由于X1和X2相互独立，X的分布函数为F(x) = P{X ≤ x} = 1 - P{X > x} = 1 - P{X1 > x, X2 > x} = 1 - P{X1 > x}P{X2 > x} = 1 - e^{-λ1 x} e^{-λ2 x} = 1 - e^{-(λ1+λ2)x}, x > 0。
公式：F(x) = 1 - e^{-(λ1+λ2)x}, x > 0
提示：利用独立事件概率相乘。
步骤 4/5
目标：求系统寿命X的概率密度函数
对分布函数求导得到密度函数：f(x) = F'(x) = (λ1+λ2) e^{-(λ1+λ2)x}, x > 0。
公式：f(x) = (λ1+λ2) e^{-(λ1+λ2)x}, x > 0
提示：指数分布的密度函数形式。
步骤 5/5
目标：证明无记忆性
由(1)知X服从参数为λ1+λ2的指数分布。指数分布具有无记忆性，即对任意t,s>0，有P{X > t+s | X > t} = P{X > s}。
公式：P{X > t+s | X > t} = P{X > s}
提示：无记忆性是指数分布的重要性质，可直接使用。
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