kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ 。将试验 $E$ 独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数，则 $X+Y$ 服从（ ）。 （A）$\displaystyle B\left(2, \frac{1}{3}\right)$ （B）$\displaystyle B\left(2, \frac{2}{3}\right)$ （C）$\displaystyle B\left(4, \frac{1}{3}\right)$ （D）$\displaystyle B\left(4, \frac{2}{3}\right)$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：每次试验中，结果$A_1$或$A_2$发生的概率为$\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。 步骤2：$X+Y$表示2次试验中$A_1$或$A_2$发生的总次数，服从二项分布$\displaystyle B(2,\frac{2}{3})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定每次试验中事件A1或A2发生的概率
由于A1、A2、A3两两不相容且概率均为1/3，每次试验中，结果A1或A2发生的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=1/3+1/3=2/3。
公式：P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)
提示：注意事件互斥时，和的概率等于概率之和。
步骤 2/2
目标：识别X+Y的分布类型
X表示2次试验中A1发生的次数，Y表示A2发生的次数，则X+Y表示2次试验中A1或A2发生的总次数。每次试验独立，且每次试验中A1或A2发生的概率为2/3，因此X+Y服从二项分布B(n, p)，其中n=2，p=2/3。
公式：X+Y ~ B(2, 2/3)
提示：二项分布的条件：n次独立重复试验，每次只有两种可能结果（成功或失败），且成功概率恒定。
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