kaoyan1basic 概率论与数理统计 第16题
📝 题目
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设 $\mu$ 是总体 $X$ 的数学期望，$\sigma$ 是总体 $X$ 的标准差，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样
本，则总体方差 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量是（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 末知 （B）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 末知 （C）$\displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 已知 （D）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 已知
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：当$\mu$已知时，$\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2$是$\sigma^2$的无偏估计，因为$\displaystyle E\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E[(X_i-\mu)^2]=\frac{1}{n}\cdot n\sigma^2=\sigma^2$。 步骤2：当$\mu$未知时，$\displaystyle \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$是$\sigma^2$的无偏估计，但选项A和B中使用了未知的$\mu$，不可行。 **难度**：★☆☆☆☆