kaoyan1basic 概率论与数理统计 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．设 $\sigma$ 是总体 $X$ 的标准差，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则样本标准差 $S$ 是总体标准差 $\sigma$ 的（ ）。 （A）无偏估计量 （B）最大似然估计量 （C）相合估计量 （D）最小方差估计量
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：样本标准差$S$是总体标准差$\sigma$的相合估计量，因为$S^2$是$\sigma^2$的相合估计，且开方运算连续，故$S$是$\sigma$的相合估计。 步骤2：$S$不是无偏估计（$E(S)\neq\sigma$），也不一定是最大似然估计或最小方差估计。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断样本标准差S是否为总体标准差σ的无偏估计量
样本标准差S的期望不等于总体标准差σ，即E(S)≠σ，因此S不是σ的无偏估计量。
公式：E(S)≠σ
提示：无偏性要求估计量的期望等于参数真值。
步骤 2/4
目标：判断样本标准差S是否为总体标准差σ的最大似然估计量
在正态总体下，σ的最大似然估计是未修正的样本标准差（分母为n），而S是修正的样本标准差（分母为n-1），因此S不是最大似然估计。对于非正态总体，S一般也不是最大似然估计。
公式：σ̂_ML = √(1/n ∑(X_i - X̄)^2)
提示：最大似然估计通常需要根据总体分布具体计算。
步骤 3/4
目标：判断样本标准差S是否为总体标准差σ的相合估计量
样本方差S²是总体方差σ²的相合估计量，即S²依概率收敛于σ²。由于开方函数连续，根据连续映射定理，S依概率收敛于σ，因此S是σ的相合估计量。
公式：S² → σ² (依概率), 则 S → σ (依概率)
提示：相合性是大样本性质，要求估计量随样本量增大趋近于真值。
步骤 4/4
目标：判断样本标准差S是否为总体标准差σ的最小方差估计量
最小方差估计通常需要满足无偏性且方差达到下界，S不是无偏估计，因此不是最小方差无偏估计。在正态总体下，S的方差并非最小，故不是最小方差估计。
提示：最小方差估计通常指无偏估计中方差最小的。
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