kaoyan1basic 概率论与数理统计 第18题
📝 题目
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．设 $X_{1}$ 是来自正态总体 $X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的一个简单随机样本，$x_{1}$ 为其样本值．则 $\sigma^{2}$ 的一个无偏估计量为 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$X_1^2$ **解析**： 步骤1：由于$X_1\sim N(0,\sigma^2)$，则$E(X_1^2)=D(X_1)+[E(X_1)]^2=\sigma^2+0=\sigma^2$，故$X_1^2$是$\sigma^2$的一个无偏估计量。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定样本分布
由题意，X1是来自正态总体N(0,σ²)的一个简单随机样本，因此X1服从N(0,σ²)分布。
公式：X1 ~ N(0, σ²)
提示：注意简单随机样本的独立性，但这里只有一个样本，所以直接使用总体分布。
步骤 2/3
目标：计算X1²的期望
对于正态随机变量X1，其方差D(X1)=σ²，期望E(X1)=0。根据方差公式D(X1)=E(X1²)-[E(X1)]²，可得E(X1²)=D(X1)+[E(X1)]²=σ²+0=σ²。
公式：E(X1²) = D(X1) + [E(X1)]² = σ²
提示：利用方差与二阶矩的关系，避免直接积分。
步骤 3/3
目标：判断无偏性
由于E(X1²)=σ²，根据无偏估计的定义，X1²是σ²的一个无偏估计量。
公式：E(θ̂) = θ 则θ̂为无偏估计
提示：无偏估计要求期望等于待估参数。
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