kaoyan1basic 概率论与数理统计 第19题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第19题（解答题） 19．设总体 $X$ 的概率分布为

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\theta^{3}$ | $3 \theta^{2}(1-\theta)$ | $3 \theta(1-\theta)^{2}$ | $(1-\theta)^{3}$ |

其中 $0<\theta<1, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本。求 $\theta$ 的最大似然估计量，并判定它是否为 $\theta$ 的无偏估计量，说明理由。

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \hat{\theta}=\frac{1}{3n}\sum_{i=1}^n X_i$；不是无偏估计量 **解析**： 步骤1：总体$X$服从二项分布$B(3,\theta)$，概率分布为$P(X=k)=C_3^k\theta^k(1-\theta)^{3-k}$，$k=0,1,2,3$。 步骤2：似然函数$L(\theta)=\prod_{i=1}^n C_3^{x_i}\theta^{x_i}(1-\theta)^{3-x_i}=\left(\prod_{i=1}^n C_3^{x_i}\right)\theta^{\sum x_i}(1-\theta)^{3n-\sum x_i}$，取对数求导得$\displaystyle \frac{\sum x_i}{\theta}-\frac{3n-\sum x_i}{1-\theta}=0$，解得$\displaystyle \hat{\theta}=\frac{1}{3n}\sum_{i=1}^n X_i$。 步骤3：$\displaystyle E(\hat{\theta})=\frac{1}{3n}\sum_{i=1}^n E(X_i)=\frac{1}{3n}\cdot n\cdot 3\theta=\theta$，故$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：识别总体分布
观察概率分布表，发现X的取值0,1,2,3对应的概率分别为C(3,0)θ^0(1-θ)^3, C(3,1)θ^1(1-θ)^2, C(3,2)θ^2(1-θ)^1, C(3,3)θ^3(1-θ)^0，因此X服从二项分布B(3,θ)。
公式：P(X=k)=C_3^k θ^k (1-θ)^{3-k}, k=0,1,2,3
提示：注意二项分布的概率形式与表格中概率的对应关系。
步骤 2/4
目标：写出似然函数
基于样本观测值x1,x2,...,xn，似然函数L(θ)=∏_{i=1}^n P(X=xi)=∏_{i=1}^n C_3^{xi} θ^{xi} (1-θ)^{3-xi} = (∏ C_3^{xi}) θ^{∑xi} (1-θ)^{3n-∑xi}。
公式：L(θ)= (∏ C_3^{xi}) θ^{∑xi} (1-θ)^{3n-∑xi}
提示：似然函数是样本联合概率函数，将每个样本的概率相乘。
步骤 3/4
目标：取对数并求导
取对数得 ln L(θ)=常数 + (∑xi) ln θ + (3n-∑xi) ln(1-θ)。对θ求导得 d ln L/dθ = (∑xi)/θ - (3n-∑xi)/(1-θ)。令导数为0，解方程得 (∑xi)/θ = (3n-∑xi)/(1-θ)，整理得 ∑xi - θ∑xi = 3nθ - θ∑xi，即 ∑xi = 3nθ，故θ̂ = (1/(3n))∑xi。
公式：d ln L/dθ = (∑xi)/θ - (3n-∑xi)/(1-θ) = 0 → θ̂ = (1/(3n))∑xi
提示：注意求导时常数项消失，解方程时小心代数运算。
步骤 4/4
目标：判断无偏性
计算E(θ̂)=E((1/(3n))∑Xi) = (1/(3n))∑E(Xi)。由于Xi~B(3,θ)，E(Xi)=3θ，所以E(θ̂)=(1/(3n))*n*3θ=θ。因此θ̂是θ的无偏估计量。
公式：E(θ̂)=θ
提示：无偏性要求估计量的期望等于参数真值。

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