kaoyan1basic 概率论与数理统计 第15题
📝 题目
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．设总体 $X$ 的数学期望 $E(X)=0$ ，方差 $D(X)=\sigma^{2}$ ，而 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{1}, S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{1}-\bar{X}\right)^{2}$ ，则下列属于 $\sigma^{2}$ 的无佩估计量的是（ ）。 （A） $7 \bar{X}^{2}+S^{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(n \bar{X}^{2}+S^{2}\right)$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}\left(n \bar{X}^{2}+S^{2}\right)$ （D）$\displaystyle \frac{1}{4}\left(n \overline{X^{2}}+S^{2}\right)$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：计算$\displaystyle E(\bar{X}^2)=D(\bar{X})+[E(\bar{X})]^2=\frac{\sigma^2}{n}+0=\frac{\sigma^2}{n}$，故$E(n\bar{X}^2)=\sigma^2$。 步骤2：$E(S^2)=\sigma^2$。 步骤3：对于选项C，$\displaystyle E\left[\frac{1}{3}(n\bar{X}^2+S^2)\right]=\frac{1}{3}(\sigma^2+\sigma^2)=\frac{2}{3}\sigma^2\neq\sigma^2$，计算有误。重新计算：$\displaystyle E\left[\frac{1}{3}(n\bar{X}^2+S^2)\right]=\frac{1}{3}(\sigma^2+\sigma^2)=\frac{2}{3}\sigma^2$，不是无偏估计。检查选项：$\displaystyle E\left[\frac{1}{2}(n\bar{X}^2+S^2)\right]=\frac{1}{2}(\sigma^2+\sigma^2)=\sigma^2$，故B正确。 **难度**：★★☆☆☆