kaoyan1basic 概率论与数理统计 第14题
📝 题目
### 【基础篇】第14题（解答题） 14．设某元件的使用寿命 $T$ 的分布函数 $F(t)$ 满足微分方程 $\displaystyle F^{\prime}(t)+\frac{2 t}{\theta^{2}}[F(t)-1]=0, t \geqslant 0, \theta$ 为大于 0 的常数，$F(0)=0$ ，且该元件性能 $\displaystyle Q(\theta)=\theta^{2}\left(\frac{\ln \theta}{2}-\frac{3}{4}\right)+\theta$ 。任取 $n$ 个此种元件做寿命试验，润得值分别为 $l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}$ 。 （1）求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ； （2）求该元件性能 $Q$ 的最大似然估计值 $Q$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle \hat{\theta}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}l_i^2}$；（2）$\displaystyle \hat{Q}=\hat{\theta}^2\left(\frac{\ln\hat{\theta}}{2}-\frac{3}{4}\right)+\hat{\theta}$ **解析**： 步骤1：解微分方程$\displaystyle F^{\prime}(t)+\frac{2t}{\theta^{2}}[F(t)-1]=0$，令$G(t)=1-F(t)$，则$\displaystyle G^{\prime}(t)=-\frac{2t}{\theta^2}G(t)$，解得$\displaystyle G(t)=Ce^{-\frac{t^2}{\theta^2}}$。由$F(0)=0$得$G(0)=1$，故$C=1$，所以$\displaystyle F(t)=1-e^{-\frac{t^2}{\theta^2}}$，$t\geq0$，即$T$服从参数为$\theta$的瑞利分布，概率密度$\displaystyle f(t)=\frac{2t}{\theta^2}e^{-\frac{t^2}{\theta^2}}$。 步骤2：似然函数$\displaystyle L(\theta)=\prod_{i=1}^n\frac{2l_i}{\theta^2}e^{-\frac{l_i^2}{\theta^2}}=2^n\left(\prod_{i=1}^n l_i\right)\theta^{-2n}e^{-\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n l_i^2}$，取对数得$\displaystyle \ln L=n\ln2+\sum_{i=1}^n\ln l_i-2n\ln\theta-\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^n l_i^2$，对$\theta$求导并令导数为0：$\displaystyle -\frac{2n}{\theta}+\frac{2}{\theta^3}\sum_{i=1}^n l_i^2=0$，解得$\displaystyle \hat{\theta}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l_i^2}$。 步骤3：由最大似然估计的不变性，$Q(\theta)$的最大似然估计为$\displaystyle \hat{Q}=\hat{\theta}^2\left(\frac{\ln\hat{\theta}}{2}-\frac{3}{4}\right)+\hat{\theta}$。 **难度**：★★★☆☆