kaoyan1basic 概率论与数理统计 第13题
📝 题目
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{x}{\theta^{2}} \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{y^{2}}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{cases} \theta>0$ ．求 $\theta$ 的最大似然估计量．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \hat\theta=\sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n X_i^2}$
**解析**：密度$\displaystyle f(x;\theta)=\frac{x}{\theta^2}e^{-x^2/(2\theta^2)}$，$x>0$（注意原题指数部分应为$e^{-x^2/(2\theta^2)}$，但题目写为$\displaystyle e^{\frac{x^2}{y^2}}$有误，应为$\displaystyle e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}$）。似然函数$\displaystyle L(\theta)=\prod_{i=1}^n \frac{x_i}{\theta^2}e^{-x_i^2/(2\theta^2)}=(\prod x_i)\theta^{-2n}e^{-\sum x_i^2/(2\theta^2)}$。取对数$\displaystyle \ln L=\sum\ln x_i-2n\ln\theta-\frac{1}{2\theta^2}\sum x_i^2$。求导：$\displaystyle \frac{d\ln L}{d\theta}=-\frac{2n}{\theta}+\frac{1}{\theta^3}\sum x_i^2=0$，解得$\displaystyle \theta^2=\frac{1}{2n}\sum x_i^2$，故$\displaystyle \hat\theta=\sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^n X_i^2}$。
**难度**：★★☆☆☆