kaoyan1basic 概率论与数理统计 第2题
📝 题目
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $X$ 服从参数为 1 的泊松分布，则 $\displaystyle E\left(\frac{1}{X+1}\right)=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ （B） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ （C）$\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}$ （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$X\sim P(1)$，$\displaystyle P(X=k)=\frac{e^{-1}}{k!}$，$k=0,1,2,\ldots$。 步骤2：$\displaystyle E\left(\frac{1}{X+1}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}\cdot\frac{e^{-1}}{k!}=e^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)!}=e^{-1}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m!}=e^{-1}(e-1)=1-\frac{1}{e}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出泊松分布的概率分布
X服从参数为1的泊松分布，其概率分布为P(X=k)=e^{-1}/k!，k=0,1,2,...
公式：P(X=k)=e^{-1}/k!
提示：注意k从0开始
步骤 2/6
目标：写出期望表达式
E(1/(X+1))=∑_{k=0}^∞ (1/(k+1)) * (e^{-1}/k!)
公式：E(1/(X+1))=∑_{k=0}^∞ (1/(k+1)) * (e^{-1}/k!)
提示：期望是求和
步骤 3/6
目标：化简求和式
将求和式改写为e^{-1}∑_{k=0}^∞ 1/((k+1)!)
公式：e^{-1}∑_{k=0}^∞ 1/((k+1)!)
提示：注意(k+1)! = (k+1)k!，所以1/(k+1)*1/k! = 1/(k+1)!，但这里直接利用阶乘性质
步骤 4/6
目标：换元求和
令m=k+1，则∑_{k=0}^∞ 1/((k+1)!) = ∑_{m=1}^∞ 1/m!
公式：∑_{m=1}^∞ 1/m!
提示：m从1开始
步骤 5/6
目标：利用e的展开式
e = ∑_{m=0}^∞ 1/m!，所以∑_{m=1}^∞ 1/m! = e - 1
公式：∑_{m=1}^∞ 1/m! = e - 1
提示：e的展开式
步骤 6/6
目标：计算期望
E(1/(X+1)) = e^{-1} * (e - 1) = 1 - 1/e
公式：E(1/(X+1)) = 1 - 1/e
提示：化简结果
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