kaoyan1basic 概率论与数理统计 第3题
📝 题目
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．设随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X \sim N(0,2), Y \sim N(0,3)$ ，则 $D\left(X^{2}+Y^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：52 **解析**： 步骤1：$X\sim N(0,2)$，则$\displaystyle \frac{X}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$，故$X^2/2\sim\chi^2(1)$，$D(X^2/2)=2$，所以$D(X^2)=8$。同理，$Y\sim N(0,3)$，$Y^2/3\sim\chi^2(1)$，$D(Y^2/3)=2$，$D(Y^2)=18$。 步骤2：$X,Y$独立，故$D(X^2+Y^2)=D(X^2)+D(Y^2)=8+18=26$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算 D(X^2)
X ~ N(0,2)，标准化得 X/√2 ~ N(0,1)，则 X^2/2 ~ χ^2(1)。卡方分布的方差为 2，故 D(X^2/2)=2，所以 D(X^2)=8。
公式：若 Z ~ χ^2(1)，则 D(Z)=2
提示：注意标准化后平方服从卡方分布
步骤 2/3
目标：计算 D(Y^2)
Y ~ N(0,3)，标准化得 Y/√3 ~ N(0,1)，则 Y^2/3 ~ χ^2(1)。D(Y^2/3)=2，所以 D(Y^2)=18。
公式：若 Z ~ χ^2(1)，则 D(Z)=2
提示：与第一步类似
步骤 3/3
目标：利用独立性求和
X 与 Y 独立，故 D(X^2+Y^2)=D(X^2)+D(Y^2)=8+18=26。
公式：若 X,Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y)
提示：注意独立条件
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