kaoyan1basic 概率论与数理统计 第4题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第4题（填空题） 4．假设某种试验只有成功与失败两种结果，并且每次试验的成功率都是 $p(0

💡 答案解析

**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}$ **解析**： 步骤1：试验直至成功与失败都出现，设成功概率$p$，失败概率$q=1-p$。$X$的可能取值为2,3,4,...。 步骤2：$P(X=k)=p^{k-1}q+q^{k-1}p$，$k\geq2$。 步骤3：$E(X)=\sum_{k=2}^{\infty}k(p^{k-1}q+q^{k-1}p)=q\sum_{k=2}^{\infty}kp^{k-1}+p\sum_{k=2}^{\infty}kq^{k-1}$。利用$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}kx^{k-1}=\frac{1}{(1-x)^2}$，得$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}kp^{k-1}=\frac{1}{(1-p)^2}-1=\frac{1}{q^2}-1$，同理$\displaystyle \sum_{k=2}^{\infty}kq^{k-1}=\frac{1}{p^2}-1$。故$\displaystyle E(X)=q\left(\frac{1}{q^2}-1\right)+p\left(\frac{1}{p^2}-1\right)=\frac{1}{q}-q+\frac{1}{p}-p=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-(p+q)=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}-1$。 步骤4：由$E(X)=3$得$\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}-1=3$，即$\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{1-p}=4$，通分得$\displaystyle \frac{1}{p(1-p)}=4$，所以$\displaystyle p(1-p)=\frac{1}{4}$，解得$\displaystyle p=\frac{1}{2}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：确定随机变量X的可能取值及其概率分布
试验直至成功与失败都出现，设成功概率p，失败概率q=1-p。X的可能取值为2,3,4,...。事件{X=k}表示第k次试验首次出现成功与失败都出现，即前k-1次全为成功且第k次失败，或前k-1次全为失败且第k次成功。因此P(X=k)=p^{k-1}q + q^{k-1}p，k≥2。
公式：P(X=k)=p^{k-1}q + q^{k-1}p
提示：注意X的最小值为2，因为至少需要两次试验才能出现两种结果。
步骤 2/3
目标：计算数学期望E(X)
E(X)=∑_{k=2}^∞ k(p^{k-1}q + q^{k-1}p) = q∑_{k=2}^∞ kp^{k-1} + p∑_{k=2}^∞ kq^{k-1}。利用幂级数求和公式∑_{k=1}^∞ kx^{k-1}=1/(1-x)^2，得∑_{k=2}^∞ kp^{k-1}=1/q^2 - 1，∑_{k=2}^∞ kq^{k-1}=1/p^2 - 1。代入得E(X)=q(1/q^2 - 1) + p(1/p^2 - 1)=1/q - q + 1/p - p = 1/p + 1/q - (p+q)=1/p + 1/q - 1。
公式：E(X)=1/p + 1/q - 1
提示：注意q=1-p，且p+q=1。
步骤 3/3
目标：根据已知期望值求解p
由E(X)=3得1/p + 1/(1-p) - 1 = 3，即1/p + 1/(1-p) = 4。通分得1/[p(1-p)] = 4，所以p(1-p)=1/4，解得p=1/2。
公式：p(1-p)=1/4
提示：解二次方程时注意p在0到1之间，因此p=1/2是唯一解。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第3题 返回列表 第5题 →