kaoyan1basic 概率论与数理统计 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设总体 $X$ 服从分布 $P\{X=k\}=p^{k}(1-p)^{1-k}, k=0,1,0
💡 答案解析
**答案**：$1-(1-p)^{n}-p^{n}$ **解析**：步骤1：$Y_1=\max\{X_i\}$，$Y_2=\min\{X_j\}$，$Y_3=Y_1-Y_2$。由于$X_i$取值0或1，$Y_1$和$Y_2$也只取0或1。 步骤2：$P(Y_1=0)=P(\text{所有}X_i=0)=(1-p)^n$，$P(Y_1=1)=1-(1-p)^n$；$P(Y_2=0)=1-P(\text{所有}X_i=1)=1-p^n$，$P(Y_2=1)=p^n$。 步骤3：$Y_3=Y_1-Y_2$的可能取值为0或1。$P(Y_3=1)=P(Y_1=1,Y_2=0)=1-(1-p)^n-p^n$。 步骤4：$E(Y_3)=1\cdot P(Y_3=1)=1-(1-p)^n-p^n$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定Y1和Y2的分布
由于X_i服从两点分布，取值0或1，因此Y1=max{X_i}和Y2=min{X_j}也只取0或1。计算P(Y1=0)=P(所有X_i=0)=(1-p)^n，P(Y1=1)=1-(1-p)^n；P(Y2=0)=1-P(所有X_i=1)=1-p^n，P(Y2=1)=p^n。
公式：P(Y1=0)=(1-p)^n, P(Y1=1)=1-(1-p)^n; P(Y2=0)=1-p^n, P(Y2=1)=p^n
提示：注意Y1=0当且仅当所有X_i=0，Y2=1当且仅当所有X_i=1。
步骤 2/3
目标：计算Y3的分布
Y3=Y1-Y2的可能取值为0或1。Y3=1当且仅当Y1=1且Y2=0，即样本中既有0又有1。P(Y3=1)=P(Y1=1,Y2=0)=1-P(Y1=0)-P(Y2=1)=1-(1-p)^n-p^n。
公式：P(Y3=1)=1-(1-p)^n-p^n
提示：利用Y1和Y2的独立性？实际上Y1和Y2不独立，但事件{Y1=0}和{Y2=1}互斥，且{Y1=1,Y2=0}是{Y1=0}和{Y2=1}的补集。
步骤 3/3
目标：计算期望E(Y3)
由于Y3只取0和1，E(Y3)=1·P(Y3=1)=1-(1-p)^n-p^n。
公式：E(Y3)=1-(1-p)^n-p^n
提示：两点分布的期望等于取1的概率。
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