kaoyan1basic 概率论与数理统计 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．在区间 $[0,1]$ 上任取一点，将其分为两个区间，留下其中任一区间记其长度为 $X$ ，再从留下的区间上任取一点，将其分为两个区间，并取其中任一区间，记其长度为 $Y$ ，则 $E(Y)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{4}$ **解析**：步骤1：第一次取点，$X\sim U(0,1)$，且留下的区间长度$X$在$[0,1]$上均匀分布。 步骤2：第二次取点，给定$X=x$，$Y$在$[0,x]$上均匀分布，故$\displaystyle E(Y|X=x)=\frac{x}{2}$。 步骤3：$\displaystyle E(Y)=E[E(Y|X)]=E\left(\frac{X}{2}\right)=\frac{1}{2}E(X)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定第一次取点后留下的区间长度X的分布
在区间[0,1]上任取一点，将其分为两个区间，留下其中任一区间，其长度X在[0,1]上均匀分布，即X~U(0,1)。
公式：X ~ U(0,1)
提示：由于取点随机且选择留下的区间也是随机的，X服从均匀分布。
步骤 2/3
目标：给定X=x时，求Y的条件分布和条件期望
在留下的区间[0,x]上任取一点，将其分为两个区间，并取其中任一区间，其长度Y在[0,x]上均匀分布，即Y|X=x ~ U(0,x)。因此条件期望E(Y|X=x)=x/2。
公式：E(Y|X=x) = x/2
提示：均匀分布的期望是区间中点。
步骤 3/3
目标：利用全期望公式求E(Y)
由全期望公式，E(Y)=E[E(Y|X)]=E(X/2)= (1/2)E(X)。由于X~U(0,1)，E(X)=1/2，所以E(Y)=1/2 * 1/2 = 1/4。
公式：E(Y) = E[E(Y|X)] = (1/2)E(X) = 1/4
提示：全期望公式是处理分层随机变量期望的重要工具。
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