kaoyan1basic 概率论与数理统计 第7题
📝 题目
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设总体 $(X, Y)$ 服从 $N(0,0 ; 1,2 ; 1),\left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right)$ 是来自总体 $(X, Y)$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}=\frac{X_{1}+X_{2}}{2}, \bar{Y}=\frac{Y_{1}+Y_{2}}{2}$ ，则 $E\left[(\bar{X}-\bar{Y})^{2}\right]=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{3}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{3}{2}-\sqrt{2}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$(X,Y)\sim N(0,0;1,2;1)$，则$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,2)$，$\text{Cov}(X,Y)=\rho\sqrt{D(X)D(Y)}=1\cdot\sqrt{1\cdot2}=\sqrt{2}$。 步骤2：$\displaystyle \bar{X}=\frac{X_1+X_2}{2}$，$\displaystyle \bar{Y}=\frac{Y_1+Y_2}{2}$，则$E(\bar{X}-\bar{Y})=0$，$D(\bar{X}-\bar{Y})=D(\bar{X})+D(\bar{Y})-2\text{Cov}(\bar{X},\bar{Y})$。 步骤3：$\displaystyle D(\bar{X})=\frac{1}{2}$，$D(\bar{Y})=1$，$\displaystyle \text{Cov}(\bar{X},\bar{Y})=\frac{1}{4}[\text{Cov}(X_1,Y_1)+\text{Cov}(X_1,Y_2)+\text{Cov}(X_2,Y_1)+\text{Cov}(X_2,Y_2)]=\frac{1}{4}(\sqrt{2}+0+0+\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 步骤4：$\displaystyle E[(\bar{X}-\bar{Y})^2]=D(\bar{X}-\bar{Y})=\frac{1}{2}+1-2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$。 **难度**：★★★☆☆