kaoyan1basic 概率论与数理统计 第8题
📝 题目
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设 $\displaystyle (X, Y) \sim f(x, y)=\frac{1}{2 \sqrt{2} \pi} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+2 y^{2}}{4}},-\infty
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{2}\pi}e^{-\frac{x^2+2y^2}{4}}$，可看出$X\sim N(0,2)$，$Y\sim N(0,1)$，且$X$与$Y$独立。 步骤2：$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=2+0=2$，$E(Y^2)=1+0=1$。 步骤3：$E(Z)=E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)=2-1=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别分布并判断独立性
由联合密度函数 $f(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{2}\pi}e^{-\frac{x^2+2y^2}{4}}$ 可看出，$X\sim N(0,2)$，$Y\sim N(0,1)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立。
公式：正态分布密度函数形式
提示：注意指数部分可分解为 $x^2$ 和 $2y^2$ 的平方和，且系数与方差有关。
步骤 2/3
目标：计算 $E(X^2)$ 和 $E(Y^2)$
由于 $X\sim N(0,2)$，$E(X)=0$，$D(X)=2$，故 $E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=2+0=2$。同理，$Y\sim N(0,1)$，$E(Y)=0$，$D(Y)=1$，故 $E(Y^2)=1+0=1$。
公式：$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2$
提示：利用方差公式简化计算。
步骤 3/3
目标：计算 $E(Z)$
由期望线性性质，$E(Z)=E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)=2-1=1$。
公式：$E(X-Y)=E(X)-E(Y)$
提示：期望的线性性质可直接应用。
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