kaoyan1basic 概率论与数理统计 第9题
📝 题目
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．已知 $(X, Y)$ 服从 $N\left(0,0 ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right), \sigma>0$ ，若 $\displaystyle D(|X-Y|)=1-\frac{2}{\pi}$ ，则 $\sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \sqrt{\frac{\pi}{2}}$ **解析**：步骤1：$(X,Y)\sim N(0,0;\sigma^2,\sigma^2;0)$，则$X$与$Y$独立同分布$N(0,\sigma^2)$，故$X-Y\sim N(0,2\sigma^2)$。 步骤2：令$U=|X-Y|$，则$U$服从半正态分布，$\displaystyle E(U)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\cdot\sqrt{2\sigma^2}=\frac{2\sigma}{\sqrt{\pi}}$，$E(U^2)=D(X-Y)=2\sigma^2$。 步骤3：$\displaystyle D(U)=E(U^2)-[E(U)]^2=2\sigma^2-\frac{4\sigma^2}{\pi}=2\sigma^2\left(1-\frac{2}{\pi}\right)$。 步骤4：由$\displaystyle D(U)=1-\frac{2}{\pi}$，得$\displaystyle 2\sigma^2\left(1-\frac{2}{\pi}\right)=1-\frac{2}{\pi}$，解得$\displaystyle \sigma^2=\frac{1}{2}$，故$\displaystyle \sigma=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 **难度**：★★★☆☆