kaoyan1basic 概率论与数理统计 第10题
📝 题目
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，已知 $X$ 服从二项分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y$ 服从泊松分布 $\displaystyle P\left(\frac{1}{2}\right)$ ，记 $Z=X+Y$ ．求： （1）$Z$ 的分布律； （2）$E(Z), D(Z)$ ．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle P(Z=k)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(1/2)^k}{k!}e^{-1/2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{(1/2)^{k-1}}{(k-1)!}e^{-1/2}$，$k=0,1,2,\ldots$（规定$k-1$项当$k=0$时为0）；（2）$E(Z)=1$，$\displaystyle D(Z)=\frac{3}{4}$ **解析**：步骤1：$X\sim B(1,1/2)$，分布律$P(X=0)=1/2$，$P(X=1)=1/2$；$Y\sim P(1/2)$，分布律$\displaystyle P(Y=k)=\frac{(1/2)^k}{k!}e^{-1/2}$，$k=0,1,2,\ldots$。 步骤2：$Z=X+Y$，由全概率公式，$\displaystyle P(Z=k)=P(X=0)P(Y=k)+P(X=1)P(Y=k-1)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(1/2)^k}{k!}e^{-1/2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{(1/2)^{k-1}}{(k-1)!}e^{-1/2}$，$k=0,1,2,\ldots$（当$k=0$时第二项为0）。 步骤3：$\displaystyle E(Z)=E(X)+E(Y)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$。 步骤4：$\displaystyle D(Z)=D(X)+D(Y)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆