kaoyan1basic 概率论与数理统计 第11题
📝 题目
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设随机变量 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{4}\right)$ ，随机变量 $\displaystyle Y \sim B\left(1, \frac{1}{6}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{Cov}(X, Y)=\frac{1}{24}$ ．求： （1）二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布； （2）$X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ ； （3）$P\{X Y=0\}$ 的值。
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle P(X=0,Y=0)=\frac{5}{8}$，$\displaystyle P(X=0,Y=1)=\frac{1}{8}$，$\displaystyle P(X=1,Y=0)=\frac{1}{6}$，$\displaystyle P(X=1,Y=1)=\frac{1}{24}$；（2）$\displaystyle \rho_{XY}=\frac{1}{\sqrt{5}}$；（3）$\displaystyle \frac{19}{24}$ **解析**：步骤1：$X\sim B(1,1/4)$，$P(X=1)=1/4$，$P(X=0)=3/4$；$Y\sim B(1,1/6)$，$P(Y=1)=1/6$，$P(Y=0)=5/6$。 步骤2：$\displaystyle \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=P(X=1,Y=1)-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}=P(X=1,Y=1)-\frac{1}{24}=\frac{1}{24}$，故$\displaystyle P(X=1,Y=1)=\frac{1}{12}$。 步骤3：由边缘分布得$\displaystyle P(X=1,Y=0)=P(X=1)-P(X=1,Y=1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}$；$\displaystyle P(X=0,Y=1)=\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{12}$；$\displaystyle P(X=0,Y=0)=\frac{3}{4}-\frac{1}{12}=\frac{2}{3}$。 步骤4：$\displaystyle D(X)=\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$，$\displaystyle D(Y)=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{36}$，$\displaystyle \rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{1/24}{\sqrt{3/16\cdot5/36}}=\frac{1/24}{\sqrt{15/576}}=\frac{1/24}{\sqrt{15}/24}=\frac{1}{\sqrt{15}}$。 步骤5：$\displaystyle P(XY=0)=1-P(X=1,Y=1)=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$。 **难度**：★★★☆☆