kaoyan1basic 概率论与数理统计 第12题
📝 题目
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．某人在超市里买了 10 节甲厂生产的电池，又买了 5 节乙厂生产的电池。这两种电池的寿命 （以小时计）分别服从参数为 $\displaystyle \frac{1}{20}$ 和 $\displaystyle \frac{1}{40}$ 的指数分布。他任取一节电池装在相机里。求； （1）此电池寿命 $X$ 的概率密度； （2）$E(X)$ ； （3）若用了 40 小时电池仍有电，还可以再用 20 小时以上的概率．
💡 答案解析
**答案**：（1）$\displaystyle f_X(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{20}e^{-x/20}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{40}e^{-x/40}$，$x>0$；（2）$\displaystyle \frac{80}{3}$；（3）$e^{-1}$ **解析**：步骤1：甲厂电池寿命服从参数$1/20$的指数分布，乙厂服从参数$1/40$的指数分布。任取一节，取到甲厂概率$10/15=2/3$，乙厂概率$5/15=1/3$。 步骤2：由全概率公式，$\displaystyle f_X(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{20}e^{-x/20}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{40}e^{-x/40}$，$x>0$。 步骤3：$\displaystyle E(X)=\frac{2}{3}\cdot20+\frac{1}{3}\cdot40=\frac{40}{3}+\frac{40}{3}=\frac{80}{3}$。 步骤4：$P(X>60|X>40)=P(X>20)$（指数分布无记忆性），但需注意混合分布无记忆性不成立，需计算：$\displaystyle P(X>60)=\frac{2}{3}e^{-60/20}+\frac{1}{3}e^{-60/40}=\frac{2}{3}e^{-3}+\frac{1}{3}e^{-1.5}$，$\displaystyle P(X>40)=\frac{2}{3}e^{-2}+\frac{1}{3}e^{-1}$，条件概率$\displaystyle P(X>60|X>40)=\frac{P(X>60)}{P(X>40)}=\frac{2e^{-3}+e^{-1.5}}{2e^{-2}+e^{-1}}$。 **难度**：★★★☆☆